球面坐标下的三重积分计算

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球面坐标下的三重积分计算如图:

如上图,在球面坐标下,r与z轴的正向夹角为ψ,r在xoy面的投影与x轴的正向夹角为θ,那么在球面坐标中,x,y,z分别可以表示为:

积分区域中的体积微元同样是按照矩形体积三边相乘的计算方式计算,然后取极限。那么在体积微元(实线部分)中,以夹角ψ运动的一边可以表示rdψ,以夹角θ运动的一边可以表示为rsinψdθ,积分区域的“高”可以表示为dr。

所以体积微元dv:

所以三重积分可以表示为:

若:

则三重积分可以用三次积分表示:

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