三重积分“先二后一”型计算方式

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如图:

1.先将积分区域Ω投影到z轴上,确定范围[c,d],在[c,d]上任意取一点作积分区域的截面Dz。Dz在xoy面的投影也记为Dz。那么有:

先对Dz所在的平面区域积分(对x,y的二重积分,结果是带z的函数),后对z积分。

例:

计算三重积分

其中Ω由旋转抛物面

及xOy平面围成。

解:

由题意得,0<= z <=4,因此:

因为被积函数是1的二重积分,根据二重积分性质,对x,y的积分就是Dz的面积(此处就是圆面积)。

根据给出的旋转抛物面方程与圆面积公式结合

得知Dz的面积就是π(4-z),于是三重积分就可以表示为:

计算过程就比较明朗了,这里就略了。

总结:判断选用“先二后一”的形式计算三重积分,有这么一些特点:

  • 被积函数是z
  • x,y的积分区域可以直接通过性质求出关于z的面积公式

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